三角形の重心の求め方と公式総まとめ！2対1の性質と座標・ベクトル

三角形の重心の求め方と公式総まとめ！2対1の性質と座標・ベクトルにまつわる興味深い視点を詳しく紐解きます。

Q1：重心の座標公式はなぜ3頂点の平均（足して3で割る）になるのですか？
A1：重心は中線を 2：1 に内分する点だからです。まず辺 $BC$ の中点 $M$ の座標は $\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)$ となります。次に頂点 $A(x_1, y_1)$ と中点 $M$ を 2：1 に内分する公式を適用すると、分母が $2+1=3$、分子が $1 \cdot x_1 + 2 \cdot \frac{x_2+x_3}{2} = x_1+x_2+x_3$ となり、綺麗な3つの平均値が導かれます。

Q2：鈍角三角形の場合、重心が三角形の外に出てしまうことはありますか？
A2：いいえ、重心が三角形の外部に出ることは絶対にありません。重心は常に三角形の内部に存在します。外心や垂心は鈍角三角形の場合に三角形の外部に飛び出しますが、中線の交点である重心と、角の二等分線の交点である内心は、どのような形状の三角形であっても必ず内部に収まります。

Q3：四面体（三角錐）にも重心はありますか？公式はどうなりますか？
A3：存在します。四面体 $ABCD$ の重心は、各頂点とその対面の三角形の重心を結ぶ4本の線分の交点となります。頂点から対面の重心を 3：1 に内分する点となり、位置ベクトルは 4頂点の平均 $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ で表されます。