3乗の展開公式は丸暗記不要！符号ミスを防ぐ決定的な覚え方と実践演習

今注目を集めている 3乗の展開公式は丸暗記不要！符号ミスを防ぐ決定的な覚え方と実践演習について、主要な情報をご紹介しています。

高校の数学Iおよび数学IIで登場する3乗展開公式の基本形は、以下の2式に集約されます。

【公式1（和の3乗）】
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

【公式2（差の3乗）】
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

指導現場で生徒がつまずく最大の関門が、2つ目の3乗展開マイナスの形です。試験の解答用紙を見直すと、多くの生徒が「$a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$」のようにすべての項をマイナスにしてしまったり、第3項の符号をプラスにすべきところでマイナスにして失点しています。

このミスを根絶する鍵は、符号の決まり方を独立した記憶領域として扱わないことです。そもそも差の公式は、和の公式における「$b$」を「$(-b)$」に置き換えたものに過ぎません。

・第1項：$a^3$
・第2項：$3 \cdot a^2 \cdot (-b)^1 = -3a^2b$（奇数乗なのでマイナス）
・第3項：$3 \cdot a^1 \cdot (-b)^2 = +3ab^2$（偶数乗なのでプラス）
・第4項：$(-b)^3 = -b^3$（奇数乗なのでマイナス）

このように、「負の数を奇数回掛ければマイナス、偶数回掛ければプラスになる」という中学数学の基本原則が働いているだけです。符号を「プラス・マイナス・プラス・マイナス」と呪文のように唱えて暗記するのではなく、後ろの項（$-b$）の指数が奇数か偶数かという本質に着目することが、ミスを防ぐ盤石の基盤となります。