三角関数のグラフ攻略！つまずく原因の解明と周期・平行移動の完全体系

三角関数のグラフ攻略！つまずく原因の解明と周期・平行移動の完全体系に関する深掘り解説を分かりやすく解説いたします。

理論を確実に得点力へ昇華させるため、模試や定期試験で頻出のハイブリッド変形問題に挑んでみましょう。振幅の変化、周期の圧縮、平行移動、上下シフトがすべて融合した実践形式です。 【演習課題】
関数 $y = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ の周期を求め、そのグラフの概形を描け。また、グラフがy軸と交わる点の座標を求めよ。

【思考プロセスと完全解答】

ステップ1：標準形への式変形（xの係数でくくる）

与えられた式の三角関数内部を、xの係数である「2」で強制的にくくり出します。 $$y = 2 \cos 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$$ ここを怠り「$\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動」と誤認した時点で即座に0点となります。

ステップ2：振幅・周期・平行移動量の特定

• 振幅（最大振れ幅）：$|a| = 2$
• 中心線（上下移動）：$y = 1$
• 最大値・最小値：最大値は $1 + 2 = 3$、最小値は $1 - 2 = -1$
• 周期 $T$：$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$
• 平行移動：基本形 $y = 2 \cos 2x$ を、x軸方向に $+\frac{\pi}{6}$、y軸方向に $+1$ 平行移動させたもの

ステップ3：主要5点のプロット座標の計算

スタート地点（cosが最大値3をとる山の頂点）は $x = \frac{\pi}{6}$ です。 周期 $T = \pi$ を4等分すると、刻み幅は $\frac{\pi}{4}$ となります。

1. 頂点（山）：$x = \frac{\pi}{6}$ のとき $y = 3$
2. 中心通過：$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}$ のとき $y = 1$
3. 最下点（谷）：$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}$ のとき $y = -1$
4. 中心通過：$x = \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{12}$ のとき $y = 1$
5. 1周期完了（山）：$x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ のとき $y = 3$

ステップ4：y切片（y軸との交点）の確定

$x = 0$ を元の式に代入します。 $$y = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 1 = 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$$ したがって、y軸との交点座標は $(0, 2)$ です。

【解答まとめ】
周期は $\mathbf{\pi}$。
グラフは $y = 2 \cos 2x$ のグラフをx軸方向に $\frac{\pi}{6}$、y軸方向に $1$ だけ平行移動した波形であり、点 $(\frac{\pi}{6}, 3)$ を山、点 $(\frac{2\pi}{3}, -1)$ を谷とし、y軸と点 $(0, 2)$ で交わる。