3倍角の公式は丸暗記不要！10秒で作る導出法と決定版語呂合わせ

3倍角の公式は丸暗記不要！10秒で作る導出法と決定版語呂合わせにまつわる最新トピックを分かりやすく発信ます。

理系学部を受験する人や、数学IIIの複素数平面を履修済みの読者にとって、最もエレガントかつ間違いのない裏ワザが「ド・モアブルの定理」の活用です。

ド・モアブルの定理より、以下の等式が成り立ちます。
$$(\cos\alpha + i\sin\alpha)^3 = \cos 3\alpha + i\sin 3\alpha$$

この左辺を通常の二項展開してみましょう。$i^2 = -1$、$i^3 = -i$ であることに注意して整理します。

$$(\cos\alpha + i\sin\alpha)^3 = \cos^3\alpha + 3i\cos^2\alpha\sin\alpha - 3\cos\alpha\sin^2\alpha - i\sin^3\alpha$$
$$= (\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\sin^2\alpha) + i(3\cos^2\alpha\sin\alpha - \sin^3\alpha)$$

ここで、実部と虚部を比較します。

・実部：$\cos 3\alpha = \cos^3\alpha - 3\cos\alpha(1 - \cos^2\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$
・虚部：$\sin 3\alpha = 3(1 - \sin^2\alpha)\sin\alpha - \sin^3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

なんと、1つの展開計算を行うだけでsinとcosの3倍角が同時に導出されてしまいます。加法定理を個別に2回適用する手間が省けるため、理系生にとっては強力な検算ツールとなります。