円錐の表面積の求め方｜裏ワザ公式「母線×半径×Π」と展開図のコツ

円錐の表面積の求め方｜裏ワザ公式「母線×半径×Π」と展開図のコツの基本情報から最新動向までを徹底的にカバーしました。

基礎知識が整理できたところで、実際に出題される形式で円錐 表面積 問題演習を行いましょう。中学1年の定期テストレベルから、中学3年で習う三平方の定理を活用する高校入試レベルまでステップアップします。

【演習1：基本レベル】定期テスト必出の標準問題

【問題】底面の半径が $4\text{cm}$、母線の長さが $9\text{cm}$ である円錐の表面積を求めなさい。

【解答・解説】
ステップ1：底面積を求める
$$\text{底面積} = 4 \times 4 \times \pi = 16\pi \, (\text{cm}^2)$$ ステップ2：側面積を裏ワザ公式で求める
$$\text{側面積} = 9 \, (\text{母線}) \times 4 \, (\text{半径}) \times \pi = 36\pi \, (\text{cm}^2)$$ ステップ3：合算して表面積を出す
$$\text{表面積} = 16\pi + 36\pi = 52\pi \, (\text{cm}^2)$$
答：$52\pi \, \text{cm}^2$

【演習2：応用レベル】三平方の定理を用いる高校入試頻出問題

【問題】底面の半径が $3\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ の円錐がある。この円錐の表面積を求めなさい。

【解答・解説】
問題文に母線の長さが与えられていません。そこで、円錐の断面に見られる直角三角形に着目し、三平方の定理 円錐の側面積の計算に必要な母線 $L$ を導出します。

ステップ1：三平方の定理で母線 $L$ を算出
直角を挟む2辺が「半径 $3\text{cm}$」と「高さ $4\text{cm}$」、斜辺が「母線 $L$」となります。
$$L^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ $$L > 0 \text{ より、} L = 5\text{cm}$$

ステップ2：底面積と側面積を計算
$$\text{底面積} = 3^2 \times \pi = 9\pi \, (\text{cm}^2)$$ $$\text{側面積} = 5 \, (\text{母線}) \times 3 \, (\text{半径}) \times \pi = 15\pi \, (\text{cm}^2)$$

ステップ3：合算して表面積を出す
$$\text{表面積} = 9\pi + 15\pi = 24\pi \, (\text{cm}^2)$$
答：$24\pi \, \text{cm}^2$