四次方程式の解の公式はなぜ長すぎる？フェラーリの解法と歴史の真相

四次方程式の解の公式はなぜ長すぎる？フェラーリの解法と歴史の真相に関する疑問や疑問点をわかりやすくまとめました。今すぐチェックことができます。

高校数学や大学入試、各種資格試験で出題される四次方程式は、フェラーリの公式を使わずに解けるよう工夫されています。現場で劇的な威力を発揮する3大裏ワザ計算テクニックを押さえておきましょう。

裏ワザ1：複2次方程式の解き方（$x^4 + ax^2 + b = 0$）

奇数次（1次と3次）の項がない方程式は、2通りのパターンで瞬殺できます。

• パターンA：$X = x^2$ と置く
  そのまま $X$ の2次方程式として因数分解または解の公式を適用します。
• パターンB：平方の差 $A^2 - B^2$ を無理やり作る
  例えば $x^4 + 4 = 0$ の場合、$(x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) = 0$ と分解します。

裏ワザ2：相反方程式（係数が左右対称な四次方程式）

$ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ のように係数が左右対称の場合、両辺を $x^2$ で割るのが鉄則です。

$a\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + b\left(x + \frac{1}{x}\right) + c = 0$

$t = x + \frac{1}{x}$ と置くと $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ となり、$t$ に関する2次方程式へ一気に帰着できます。

裏ワザ3：有理根定理による因数定理の効率的探索

最高次の係数が $a$、定数項が $e$ のとき、有理数の解の候補は必ず「$\pm \frac{e\text{の約数}}{a\text{の約数}}$」に限られます。やみくもに数字を代入するのではなく、この候補だけに絞って代入・組立除法を行うことで、短時間で因数分解を完了できます。