符号ミスはなぜ起きる？3乗の公式・因数分解を一瞬で覚える裏ワザ徹底解説

符号ミスはなぜ起きる？3乗の公式・因数分解を一瞬で覚える裏ワザ徹底解説の詳細について、専門知識を詳しくお届けします。

高校数学の模試や一般入試で差がつくのが、基本公式を応用した3乗の対称式変形です。基本対称式である和 $a + b$ と積 $ab$ が与えられたとき、$a^3 + b^3$ の値は次の変形を用いて瞬時に求められます。

$$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$$

この変形は、$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の真ん中の2項を $3ab(a + b)$ として左辺に移項しただけのシンプルな構造です。数学Iの「数と式」における数学1・A基本問題から難関大の整数問題まで幅広く活用されます。

さらに、最難関レベルの頻出テーマとして知られるのが3文字の発展公式であるa3+b3+c3-3abc公式です。

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$

この式は右辺の第2因数を変形することで、$\frac{1}{2}(a + b + c)\{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\}$ と表すこともできます。実数条件において「$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ かつ $a+b+c \neq 0$ ならば $a = b = c$」を証明させる問題は、国公立2次試験の超頻出パターンとして押さえておくべき重要事項です。