五角形の角度と内角の和540度を徹底解説！108度の理由と星型の秘密

話題沸騰中の 五角形の角度と内角の和540度を徹底解説！108度の理由と星型の秘密について、詳しいまとめを分かりやすく掲載しています。

すべての辺の長さが等しく、すべての内角の大きさが等しい図形を「正五角形」と呼びます。この正五角形の一つの内角を求める際、最もストレートな計算手順は、前項で導いた五角形の内角の和を頂点の数で等分する方法です。

540度 ÷ 5 ＝ 108度

これにより、正五角形の1つの角度が108度であることが導かれます。しかし、受験指導の現場や数学のエキスパートが推奨する正多角形の内角の計算方法には、さらに圧倒的に速く、計算ミスを防げる「裏ワザ的アプローチ」が存在します。それが五角形の外角の和に着目した解法です。

多角形において、ひとつの辺をまっすぐ延長したときに外側にできる角を「外角」と呼びます。幾何学の偉大な法則として、「凸多角形の外角の和は、角の数に関わらず必ず360度になる」という絶対ルールがあります。外角の和は、多角形の外周を1周歩いて元の向きに戻ったときの総回転角に相当するため、三角形であれ五角形であれ、100角形であっても常に360度です。

正五角形は5つの外角の大きさもすべて均等であるため、外角1つの大きさは次のように暗算レベルで求まります。

360度 ÷ 5 ＝ 72度

直線は180度であり、内角と外角は一直線を共有して隣り合っているため、「内角 ＋ 外角 ＝ 180度」が成り立ちます。つまり、外角が求まれば、内角は引き算だけで瞬時に導き出せます。

180度 － 72度 ＝ 108度

「正五角形の一つの外角は72度であり、180度から引けば内角の108度が出る」という関係性は、大きな桁の掛け算や割り算を必要としないため、計算ミスのリスクを劇的に低減させます。中学受験の算数や高校受験の数学を指導する現場でも、この外角基準の解法は必須のテクニックとして定着しています。