二次不等式の判別式はいつ使う？解なしやすべての実数の見分け方

二次不等式の判別式はいつ使う？解なしやすべての実数の見分け方について押さえておきたい 注意点を分かりやすい構成で解説いたします。

二次不等式の全パターンを整理する際、絶対に欠かせない前提が「$x^2$の係数を正（下に凸のグラフ）にしてから考える」という鉄則です。もし係数が負であれば、不等式全体に $-1$ を掛けて不等号を逆転させ、必ず下に凸の放物線に統一します。その上で、判別式 $D$ の符号と4つの不等号の組み合わせを対照したのが以下のデータテーブルです。

判別式の状態放物線とx軸の共有点不等式（> 0 / ≧ 0）の解不等式（< 0 / ≦ 0）の解D > 0
（共有点2個）異なる2点で交わる
（交点座標 $\alpha, \beta$）$x < \alpha, \beta < x$
（$\geqq$ のときは等号が付く）$\alpha < x < \beta$
（$\leqq$ のときは等号が付く）D = 0
（共有点1個：重解）$x$軸と1点で接する
（接点座標 $\alpha$）> 0：$\alpha$ 以外のすべての実数
≧ 0：すべての実数< 0：解なし
≦ 0：$x = \alpha$（ピンポイント）D < 0
（共有点0個）共有点なし
（グラフ全体が$x$軸の上方に浮遊）> 0：すべての実数
≧ 0：すべての実数< 0：解なし
≦ 0：解なし

この表を丸暗記しようとする行為は推奨されません。注目すべきは、放物線と$x$軸の共有点の様子が頭に描けていれば、表を暗記していなくてもその場で100%復元できるという事実です。