扇形の中心角の求め方を完全攻略！弧や面積から一瞬で逆算する解法

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学んだ知識を確実な得点力に変えるため、代表的な扇形の中心角の求め方 練習問題にチャレンジしてみましょう。

問題1：弧の長さから中心角を求める

【問題】 半径が 6cm、弧の長さが $4\pi\text{ cm}$ の扇形の中心角を求めなさい。

【解説】
1. 半径6cmの円全体の円周は $2\pi \times 6 = 12\pi\text{ cm}$ です。
2. 円全体に対する扇形の割合は $\frac{4\pi}{12\pi} = \frac{1}{3}$ となります。
3. 中心角は $360^\circ \times \frac{1}{3} = \mathbf{120^\circ}$ です。

問題2：面積から中心角を求める

【問題】 半径が 9cm、面積が $54\pi\text{ cm}^2$ の扇形の中心角を求めなさい。

【解説】
1. 半径9cmの円全体の面積は $\pi \times 9^2 = 81\pi\text{ cm}^2$ です。
2. 面積の比率は $\frac{54\pi}{81\pi}$。9で約分すると $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ です。
3. 中心角は $360^\circ \times \frac{2}{3} = \mathbf{240^\circ}$ です。

問題3：円錐の展開図への応用（入試頻出）

【問題】 底面の半径が 3cm、母線の長さが 12cm の円錐があります。この円錐の側面になる扇形の中心角を求めなさい。

【解説】
裏ワザ比率公式「$360^\circ \times \frac{\text{底面の半径 } r}{\text{母線の長さ } R}$」を適用します。
$$360^\circ \times \frac{3}{12} = 360^\circ \times \frac{1}{4} = \mathbf{90^\circ}$$