二倍角の公式は暗記不要！加法定理で10秒導出できる完全攻略法

二倍角の公式は暗記不要！加法定理で10秒導出できる完全攻略法の全体像を詳しく解説してご紹介します。

理解を確固たる得点力に変えるため、頻出の二倍角の公式練習問題を解いてみましょう。

$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。
$$\cos 2\theta + 3\cos\theta + 2 = 0$$

【思考のプロセスと解答】

ステップ1：角と関数を統一する
式の中に $2\theta$ と $\theta$ が混在しています。角を $\theta$ に統一するため、二倍角の公式を用います。また、他の項に $\cos\theta$ が含まれているため、$\cos 2\theta$ の変形パターンの中から「$\cos$ のみ」の式を選択するのが定石です。
$$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$$

ステップ2：方程式に代入して整理する
$$(2\cos^2\theta - 1) + 3\cos\theta + 2 = 0$$
$$2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 1 = 0$$

ステップ3：因数分解を実行する
$$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta + 1) = 0$$
したがって、$\cos\theta = -\frac{1}{2}, \quad \cos\theta = -1$

ステップ4：範囲内で解を求める
$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、
$\cos\theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$
$\cos\theta = -1 \implies \theta = \pi$

【正解】 $\theta = \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{4}{3}\pi$