三角関数の合成公式を図で攻略！つまずきゼロの解法と応用総まとめ

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三角関数の合成公式が成り立つ理由と仕組みは、数学IIで学ぶ「加法定理の逆再生」に過ぎません。証明の手順を理解しておくと、公式を忘れた場合でも自力で10秒で復元できるようになります。

まず、サインの加法定理を展開します。
$$\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha$$

両辺に $r$（ただし $r = \sqrt{a^2 + b^2} > 0$）を掛けます。
$$r\sin(\theta + \alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$$

ここで、与えられた式 $a\sin\theta + b\cos\theta$ と係数を比較すると、以下の関係が成り立てばよいことがわかります。
$$a = r\cos\alpha, \quad b = r\sin\alpha$$

両辺を2乗して足し合わせると、
$$a^2 + b^2 = r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = r^2$$ $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$

さらに $r$ で割ることで、教科書に載っている $\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ という条件が自然に導出されます。つまり、合成とは「2つの項を無理やり加法定理の展開形に見立てて因数分解している」だけの操作なのです。